The positive definite matrix completion problem. This study considers under which conditions a partial Hermitian matrix admits a positive definite completion. The answer is closely related to the underlying graph of the matrix. It turns out that if the graph is chordal and all the principal minors are positive, there exists a positive definite completion.

’n Parsiële matriks is ’n matriks waarvan die inskrywings van die matriks bekend is en die res onbekend is. Die vraag is dan of dit moontlik is om waardes vir die onbekende inskrywings te gee sodat die volledige matriks ’n spesifieke eienskap het. Ons beskou die klas van parsiële selftoegevoegde matrikse en vra dan wanneer het die matrikse ’n uitbreiding wat positief definiet is. ’n Noodsaaklike voorwaarde hier is dat elke volledige hoofdeelmatriks van ’n parsiële selftoegevoegde matriks, positief definiet moet wees. Dit is wel nog nie ’n voldoende voorwaarde nie, aangesien daar parsiële matrikse bestaan waarvan al die volledige hoofdeelmatrikse positief definiet is, maar wat geen positief definiete uitbreiding het nie. Dit is dus nodig om na ander eienskappe van die matriks te kyk. In dié geval is die onderliggende grafiek van die matriks baie belangrik. Ons verkry die grafiek deur die diagonaalelemente van die matriks voor te stel as punte op die grafiek en die bekende inskrywings voor te stel as verbindings tussen die punte; byvoorbeeld, as daar ’n inskrywing in die (1,2) posisie van die matriks is, is daar ’n verbinding tussen die punt 1 en 2 op die grafiek. Op dié manier word die probleem gereduseer na ’n studie van die onderliggende grafiek en sy eienskappe. Dit is merkwaardig dat elke matriks wat voldoen aan die noodsaaklike voorwaarde en waarvan die onderliggende grafiek geen siklus bevat van ’n lengte langer as 3 nie, noodwendig ’n positief definiete uitbreiding sal hê. Ons noem grafieke wat hierdie eienskap het, koordgrafieke omdat enige twee punte wat nie direk aangrensend is nie, ’n koord tussen hulle het. Hierdie resultaat is bewys deur Grone et al. (1984).

Dit kan gebeur dat die onderliggende grafiek nie ’n koordgrafiek is nie, maar dat die parsiële matriks wel ’n positief definiete uitbreiding het. Ons beskou dan die klas van parsiële selftoegevoegde matrikse wat aan die noodsaaklike voorwaarde voldoen, maar nie ’n onderliggende koordgrafiek is nie. Die vraag is, watse eienskappe moet die matriks en sy onderliggende grafiek hê sodat daar ’n positief definiete uitbreiding bestaan?

Die positief definiete uitbreidingsprobleem het toepassings in waarskynlikheidsleer en statistiek, stelselingenieurswese, geofisika en chemie, om maar ’n paar te noem. Dit het ook ’n noue verband met semidefiniete programmering en die Euklidiese afstandsmatriks, wat gebruik word in chemie.

Grone, R., Johnson, C., Sà, E. & Wolkowicz, H., 1984, ‘Positive definite completions of partial hermitian matrices’, Linear Algebra and its Applications 58, 109–124. http://dx.doi.org/10.1016/0024-3795(84)90207-6