Abstrak
Taal word reeds sedert De Saussure as ’n sisteem benader, en onlangs is die teorie van komplekse sisteme ook binne die taalkunde toegepas. Komplekse sisteme kan egter ook as komplekse netwerke gemodelleer word, en daar is reeds ’n verskeidenheid studies in die buiteland onderneem wat ondersoek instel na die netwerkstruktuur van taal. Die huidige studie volg in die voetspoor van oorsese studies en ondersoek die netwerkstruktuur van Afrikaans deur ’n woordko-voorkomsnetwerk te ontleed, soos saamgestel uit André P. Brink se roman Donkermaan. Skakelverspreidingspatrone en die kleinwêreldfenomeen word ondersoek en vergelyk met die Engelse en Nederlandse vertalings van dié roman. Die huidige studie verteenwoordig die eerste netwerkstudie in Afrikaans, en maak eerstens gebruik van Erdös en Rényi se lukrake netwerkmodel, sowel as Barabási en Albert se skaalvrye netwerkmodel, om aan te toon dat die skakelverspreidingspatrone in ’n woordko-voorkomsnetwerk van Afrikaans beter volgens Barabási en Albert as volgens Erdös en Rényi se netwerkmodel beskryf word. Verder word gebruik gemaak van die metode soos voorgestel in Humphreys en Gurney om kleinwêreldsheid (S) presies te kwantifiseer in die Afrikaanse teks, maar ook in die Engelse en Nederlandse vertalings. Met 522 ≤ S ≤ 797 word aangedui dat Afrikaans, Engels en Nederlands al drie duidelike kleinwêreldnetwerke is. Voorstelle word ook vir verdere navorsing gemaak.
Abstract
Afrikaans as a complex network: The word co-occurrence network in André P. Brink’s Donkermaan in Afrikaans, Dutch and English. Language has already been approached as a system since De Saussure, and recently the theory of complex systems has been applied within Linguistics as well. Complex systems, however, can also be modelled as complex networks, and a variety of studies investigating the network structure of language have already been undertaken worldwide. The current study follows in the footsteps of overseas studies and investigates the network structure of Afrikaans by analysing a word co-occurrence network compiled from André P. Brink’s novel Donkermaan. Link distribution patterns and the small-world phenomenon are investigated and then compared to the English and Dutch translations of this novel. The current study represents the first network study of Afrikaans. Firstly, the random network model of Erdös and Rényi and the scale-free network model by Barabási and Albert are used to indicate that the link distribution patterns in a word co-occurrence network of Afrikaans are better described according to the network model of Barabási and Albert than by that of Erdös and Rényi. Furthermore, the method proposed by Humphreys and Gurney to define small-worldedness (S) was used to quantify this phenomenon for the Afrikaans, as well as English and Dutch versions of the text. With 522 ≤ S ≤ 797, it is indicated that Afrikaans, English and Dutch are all clearly small-world networks. Suggestions are also made for further research.
Inleiding
Taal word reeds sedert De Saussure (1966) as ’n sisteem beskou. Latere teoretici het op sy insigte voortgebou (Odendal 1969), en onlangs het die teorie van komplekse sisteme ook inslag begin vind in die taalkunde (Weideman 2009, 2011). Taal word tans algemeen as ’n komplekse sisteem beskou (Cilliers 1998:3; Kwapień & Drożdż 2012:129–130; Solé et al. 2010:3), maar volgens Cong en Liu (2014:599) kom die sisteemteoretiese perspektief op taal gewoonlik bloot op ’n metaforiese gebruik neer en word dit nie veel verder gevoer nie.
Binne die teorie van komplekse netwerke word die interafhanklike samehang tussen woorde in ’n taal egter nie bloot in metaforiese terme bespreek nie, en ’n verskeidenheid studies is reeds gedoen oor taal as ’n komplekse netwerk (Cong & Liu 2014). Die meerderheid studies konsentreer op Engels, byvoorbeeld i Cancho en Solé (2001), Dorogovtsev en Mendes (2001), Masucci en Rodgers (2006) en Newman (2006), maar ander tale is ook reeds sodanig bestudeer, insluitende Chinees (Liu & Zhao 2010), Pools (Grabska-Gradzińska et al. 2012), Kroaties (Margan, Martinčić-Ipšić & Meštrovíć 2014), Hebreeus (Kenett et al. 2011), en verskeie ander tale (Liu & Cong 2013). Daar is egter nog nie ’n studie van Afrikaans as ’n komplekse netwerk onderneem nie.
Netwerkstudies van die ko-voorkoms van woorde maak gereeld gebruik van literêre tekste as datastelle. Grabska-Gradzińska et al. (2012) ondersoek byvoorbeeld onder meer literêre tekste; Masucci en Rodgers (2006) bestudeer George Orwell se 1984; Newman (2006) ondersoek ’n netwerk van byvoeglike naamwoorde in Charles Dickens se David Copperfield; Liu en Cong (2013) bestudeer twaalf vertalings van Nikolai Ostrovsky se roman Kak zakaljalas’ stal’ (How the steel was tempered); en Margan, Martiničić-Ipšić en Meštrovíć (2014) bestudeer tien Kroatiese boeke. Die huidige studie volg in die voetspore van hierdie studies en ondersoek die woordko-voorkomsnetwerk in André P. Brink se Donkermaan (Brink 2000a), en vergelyk ook die resultate met dieselfde ko-voorkomsnetwerke van die Engelse (Brink 2000b) en Nederlandse (Brink 2001) vertalings van die roman. Let egter daarop dat Brink self die Engelse vertaling behartig het, maar die Nederlandse vertaling is deur Anneke Goddijn en Rob van der Veer onderneem.
Een van die voorstelle vir verdere navorsing wat Solé et al. (2010:7) maak, is: Is daar statistiese verskille tussen die netwerke van verskillende tale? Dít is dan die primêre oogmerk van die huidige artikel, naamlik om ondersoek in te stel na of Afrikaans enige beduidende statistiese verskille met ander tale ten opsigte van sy netwerkstruktuur vertoon.
Verder is die topologiese aspek van kleinwêreldsheid, soos voorgestel en gemodelleer deur Watts en Strogatz (1998), wel ondersoek in bogenoemde internasionale studies, maar dié verskynsel is nog nie presies gekwantifiseer in woordko-voorkomsnetwerke nie. Volgens Solé et al. (2010:22) en Liang et al. (2009:4901) vertoon alle taalnetwerke kleinwêreldsheid, terwyl ’n studie deur Markoaová en Nather (2006:3) ook die siening ondersteun dat Engels ’n kleinwêreldnetwerk is. Buiten Kennett et al. (2011) se kwantifisering van kleinwêreldsheid in Hebreeuse semantiese netwerke, is kleinwêreldsheid egter nog nie vir taalnetwerke gekwantifiseer nie. Bykomend tot die bestudering van die netwerkeienskappe van Afrikaans, word kleinwêreldsheid in die huidige artikel in navolging van Kennett et al. (2011) volgens die metode soos voorgestel deur Humphries en Gurney (2008) vir die woordko-voorkomsnetwerk in Afrikaans gekwantifiseer, terwyl kleinwêreldsheid ook met dié in Engels en Nederlands vergelyk word deur gebruik te maak van bogenoemde twee vertalings van Brink se roman. Die huidige studie verteenwoordig gevolglik, onder meer, die eerste kwantifisering van kleinwêreldsheid in ’n woordko-voorkomsnetwerk, en verder het die onderhawige studie betrekking op Afrikaans, Engels en Nederlands.
Die kenmerke van taal as ’n komplekse sisteem
Taal word lank reeds as ’n sisteem beskou. In De Saussure (1966:114) se bekende definisie is taal ‘a system of interdependent terms in which the value of each term results solely from the simultaneous presence of the others’. Taal kan ook as ’n komplekse (teenoor ’n eenvoudige) sisteem beskryf word (Cilliers 1998:3; Albert & Barabási 2002:253; Grabska-Gradzińska et al. 2012:2; Cong & Liu 2014:599), en deel heelwat eienskappe met ander komplekse sisteme (Strogatz 2004:256; Cong & Liu 2014:602). Newman (2011:1) omskryf ’n komplekse sisteem soos volg:
… most researchers in the field would probably agree that it is a system composed of many interacting parts, such that the collective behavior of those parts together is more than the sum of their individual behaviors. The collective behaviors are sometimes also called ‘emergent’ behaviors, and a complex system can thus be said to be a system of interacting parts that displays emergent behavior.
Soos Newman in dié omskrywing te kenne gee, word komplekse sisteme onder meer deur opkoms (‘emergence’) gekenmerk, wat omskryf kan word as ‘a spontaneous occurrence of macroscopic order from a sea of randomly interacting elements on a microscopic level’ (Kwapień & Drożdż 2012:118; Mitchell 2006:1196; DeLaurentis 2007:364). Opkoms beteken dat die funksie van die totale sisteem meer is as die funksie van individuele onderdele. Taal word ook gekenmerk deur opkoms: terwyl taal op een vlak uit ’n kombinasie van klanke bestaan, voorspel daardie klanke nie dat ’n persoon gelukkig, hartseer, teleurgesteld, ensovoorts sal wees wanneer hy ’n sekere kombinasie aanhoor nie. Dieselfde geld vir letters: die letters e, o, p en s kan op maniere gekombineer word wat onder meer ’n literêre vorm (epos), kommunikasiemiddel (e-pos) en vulgariteit (poes) voorstel – wat tel, is hoe die letters saamhang. In sisteme val die klem altyd op ‘geordenheid en samehang’ (Senekal 1987:24), wat die eienskap van sisteme is wat hul van aggregate onderskei (Viljoen 1986:3); opkoms is egter ’n kenmerk van komplekse sowel as eenvoudige sisteme.
’n Komplekse sisteem is ook daartoe in staat om aan te pas, en dít is wat ’n komplekse van ’n eenvoudige sisteem onderskei (Holland 1992:19; Amaral & Ottino 2004:159). Aanpasbaarheid kom nie in eenvoudige sisteme voor nie: alhoewel ’n motorvoertuig byvoorbeeld gekompliseerd is en sy onderdele saamwerk om die sisteem se totale funksie te verrig (om te ry), kom die sisteem tot ’n stilstand wanneer ’n onderdeel onklaar raak. In komplekse sisteme pas die sisteem egter aan, byvoorbeeld die immuunstelsel wat aanpas by ’n nuwe patogeen, of ’n ekosisteem wat aanpas by die verlies van ’n spesie of by klimaatsverandering. Volgens Kwapień en Drożdż (2012:129) is taal ook aanpasbaar:
Under the influence of interactions between members of a community sharing the language, the existing grammar rules are modified, some words are pushed out by other words, there appear completely new ones whose task is to name new objects and concepts, etc. (Dorogovtsev & Mendes 2001:2603.)
Alle komplekse sisteme is noodwendig oop sisteme, wat beteken dat hulle bestaan deur middel van hulle interaksie met hul omgewing (wat ander komplekse sisteme insluit), en hierdie vlak van interaksie kan beskryf word as ’n horisontale interaksie tussen komplekse sisteme (Senekal 2013:674–675). Tale verkeer natuurlik in interaksie met ander tale, soos Deens en Saksies in elfde-eeuse Engeland, Frans en Engels in Engeland ná 1066 ( McCrum, Cran & MacNeil 1992), of Afrikaans en Engels in die hedendaagse Suid-Afrika. Tale ontwikkel deur kontak en beïnvloed mekaar: net soos die Skandinawiërs woorde soos skill, skin, want en wrong tydens die okkupasie van Suidoos-Engeland in die vroeë elfde eeu tot Engels bygedra het (McCrum, Cran & MacNeil 1992:71), het Afrikaans woorde soos braai, kraal en sommer tot Suid-Afrikaanse Engels bygedra, terwyl Engels tegelykertyd ’n groot hoeveelheid woorde tot Afrikaans bygedra het. Tale funksioneer ook ‘at the interface between biology and social interactions’ (Kwapień & Drożdż 2012:129). Taal (mondeling of skriftelik) is afhanklik van biologiese aanpassings soos Broca se area in die brein en die FOXP2-geen, waarsonder dit nie kan bestaan nie, en verkeer gevolglik ook in ’n wisselwerking met biologiese sisteme. Daarbenewens verkeer taal in interaksie met die sosiale en kulturele sisteme waar dit ingebed is, insluitende tegnologie, ideologie, ensovoorts.
Komplekse sisteme is gewoonlik ook sisteme-van-sisteme, waarin ’n hiërargiese struktuur geïdentifiseer kan word waar sisteme verder uit subsisteme bestaan, en terselfdertyd deel uitmaak van groter supersisteme (Senekal 2013:674; Cong & Liu 2014:603). ’n Mens bestaan byvoorbeeld uit, onder meer, ’n senuweestelsel en immuunstelsel, wat opgebou is uit organe en selle, maar behoort ook tot ’n familie, gemeenskap en die mensdom self. Volgens Kwapień en Drożdż (2012:130) kan so ’n hiërargiese struktuur ook in taal waargeneem word:
Language has a hierarchical structure. At the most basic level, it consists of phonemes (spoken language) and characters or ideograms (written language). Typically, [the] number of either of these elements in a given language is small and usually reaches several tens (for example, in British English there are exactly 26 characters and about 45–50 phonemes in active use; the latter number varies depending on a source). The phonemes and characters group themselves in morphemes, which play an important role of fundamental carriers of meaning. The morphemes are not self-reliant, however. The function of the smallest self-reliant components of language is played by the words consisting of one or more connected morphemes. A higher level of language organization is formed by clauses and sentences which are the most important units of information transfer. In the case of written language, there can be distinguished also other levels of the organization hierarchy (paragraphs, chapters, texts, and so on).
Komplekse sisteme kan as komplekse netwerke gemodelleer word (Kuhnert 2011:9), en die modellering van tale as netwerke is in ’n verskeidenheid studies gedoen (vir ’n oorsig van navorsing oor taal as ’n komplekse netwerk, kyk Cong & Liu 2014). Die topologie van taalnetwerke vertoon baie ooreenstemming met ander tipes komplekse netwerke, insluitend ’n kleinwêreldargitektuur, en oneweredige skakelverspreiding tussen woorde (met ander woorde nie ’n Poisson-verspreiding nie) (Dorogovtsev & Mendes 2001:2603; Strogatz 2004:256; Masucci & Rodgers 2006:2; Solé et al. 2010:22). Die huidige artikel fokus op kleinwêreldsheid (S), maar neem ook skakelverspreidingspatrone (P[k]) in ag.
Netwerke (ook genoem grafieke) bestaan uit nodusse (n) sowel as hul skakels (m), (vir ’n oorsig oor die netwerkteorie, kyk Newman 2010). Newman (2010) onderskei tussen vier soorte netwerke: biologiese netwerke (bv. voedselwebbe, proteïeninteraksienetwerke en neurale netwerke), tegnologiese netwerke (bv. die internet, kragvoorsienings- en vervoernetwerke), sosiale netwerke, en inligtingsnetwerke, byvoorbeeld die Wêreldwye Web, verwysingsnetwerke in die wetenskap, en taal.
Markošová (2008:663) verdeel studies van taal as ’n komplekse netwerk in twee kategorieë: posisionele studies, byvoorbeeld studies van die ko-voorkomsnetwerke van woorde, en konseptuele studies, byvoorbeeld studies van semantiese netwerke (bv. hiponieme, antonieme en sinonieme). In navolging van i Cancho en Solé (2001), Mendes (2003), Masucci en Rodgers (2006), Antiqueira et al. (2007), Markošová (2008), Solé et al. (2010) en Grabska-Gradzi ska et al. (2012) is die ko-voorkoms van woorde hier bestudeer, wat beteken dat ’n skakel aangedui is vir woorde wat langs mekaar in ’n teks voorkom. Ko-voorkomsnetwerke kan die direkte ko-voorkoms van woorde aandui, maar tweedegraadse voorkomste kan ook in berekening gebring word. In die sin Piet skop die bal kan skakels aangedui word as Piet → skop → die → bal, maar ook as Piet → die en skop → bal. Antiqueira et al. (2007:819) dui egter aan dat eerstegraadse ko-voorkomste (met ander woorde direkte ko-voorkomste) genoeg is om betekenisvolle resultate te verkry, en daarom word slegs eerstegraadskakels hier ondersoek.
Anders as in Masucci en Rodgers (2006) laat ons egter leestekens uit, soos i Cancho en Solé (2001:2262) en ander ook doen, aangesien die fokus hier op die interaksies tussen woorde in tekste val. Die woordko-voorkomsnetwerke wat in die onderhawige studie ondersoek word, is met ander woorde ’n netwerk wat slegs leksikale items in ag neem.
Antiqueira et al. (2007:813) verwyder stopwoorde (bv. lidwoorde en voorsetsels) uit hul datastel. Stopwoorde is nie in die huidige studie verwyder nie, omdat stopwoorde hier juis vergelyk word met die kort lys Engelse woorde met die hoogste gebruiksfrekwensie, soos verskaf deur i Cancho en Solé (2001:2265), en ook bereken is in Engels en Nederlands met behulp van die vertalings van Donkermaan.
Teoretiese konsepte
Ten einde die teoretiese konsepte te illustreer wat in hierdie afdeling bespreek word, is ’n voorbeeld van ’n ko-voorkomsnetwerk tussen woorde uit die volgende drie sinne saamgestel:
- Piet skop die bal.
- Ek gaan haal die fiets.
- Ek haal die vleis uit.
Die gemiddelde getal skakels wat ’n nodus in ’n netwerk het, <k>, is in ’n ko-voorkomsnetwerk gelykstaande aan daardie woord se gebruiksfrekwensie (Masucci & Rodgers 2006:1). Dit is reeds sedert Zipf (1935) bekend dat die gebruiksfrekwensie van woorde deur ’n kragwet bepaal word, wat in eenvoudige terme beteken dat daar ’n baie klein getal woorde met ’n hoë gebruiksfrekwensie is, terwyl die oorgrote meerderheid woorde ’n lae gebruiksfrekwensie het (Cong & Liu 2014:601). Verskeie studies van taal as netwerk het Zipf se bevinding ondersteun en die kragwet ook in die skakelverspreiding van woorde gevind (Masucci & Rodgers 2006:2; Markošová 2008:662; Grabska-Gradzińska et al. 2012:8). Die skakelverspreidingspatroon in ’n netwerk (P[k]) dui eenvoudig op die waarskynlikheid dat enige nodus ’n graad of getal skakels k sal hê, en die kragwet beteken dat skakelverspreidingspatrone deur P(k)~k-y beskryf word (Cong & Liu 2014:601). Dit kan verwag word dat dieselfde verskynsel in Afrikaans gevind sal word. Kyk byvoorbeeld na die voorbeeldnetwerk in Figuur 1: daar is een woord met vyf skakels (die), een woord met drie skakels (haal), drie woorde met twee skakels elk (ek, gaan en vleis), en vyf woorde met net een skakel. Soos die getal skakels dus afneem, neem die getal woorde wat daardie getal skakels het toe. Hierdie oneweredige skakelverspreidingspatroon word vervat in Barabási en Albert (1999) se skaalvrye netwerkmodel, en in die huidige studie word die ko-voorkomsnetwerke van die drie romans ook met hierdie netwerkmodel vergelyk ten einde te bepaal of ’n oneweredige skakelverspreidingspatroon ook dié netwerke kenmerk. Ten einde hierdie vergelyking te kan tref, word ekwivalente van die woordko-voorkomsnetwerke met behulp van beide Barabási en Albert (1999) se skaalvrye netwerkmodel as Erdös en Rényi (1959, 1960) se lukrake netwerkmodel saamgestel, met ander woorde, netwerke met dieselfde getal nodusse (n) en skakels (m) as wat in die werklike netwerk aangetref word. Die korrelasies tussen die skakelverspreidingspatrone van die betrokke woordko-voorkomsnetwerke en die ekwivalente netwerk van enersyds Barabási en Albert (1999) en dié van Erdös en Rényi (1959, 1960) andersyds, word daarna met behulp van Pearson se korrelasiekoëffisiënt bereken.
 |
FIGUUR 1: ’n Voorbeeld van ’n woordko-voorkomsnetwerk. |
|
’n Ander aspek van woordko-voorkomsnetwerke wat hier in navolging van Masucci en Rodgers (2006:4) en Antiqueira et al. (2007:813) in berekening gebring word, is die getal kere wat woorde saam voorkom. Dié aspek word gemeet deur die gewig wat aan ’n skakel toegeken word, en ’n skakel met ’n gewig van twee beteken bloot dat woorde twee keer saam voorkom. Masucci en Rodgers (2006:4) het gevind dat die ko-voorkoms van twee woorde in Engels die hoogste is vir of the, gevolg deur it was en in the.1 In die voorbeeldnetwerk in Figuur 1 kan ’n dikker skakel tussen haal en die waargeneem word, wat daarop dui dat dié twee nodusse die meeste in hierdie voorbeeldnetwerk ko-voorkom (twee keer). In die netwerke wat in die huidige artikel bestudeer is, dui die gewig van skakels ook op hoeveel keer woorde saam voorkom.
’n Belangrike kenmerk van netwerke is dat hulle gewoonlik ook kleinwêreldnetwerke is. Kleinwêreldsheid, soos deur Watts en Strogatz (1998) gemodelleer, verwys na netwerke wat ’n kort gemiddelde pad tussen nodusse het (nodusse is gereeld slegs 2 of 3 stappe van mekaar verwyderd, en selde meer as 10), sowel as ’n mate van groepsvorming wat beduidend hoër is as wat aan toeval toegeskryf kan word. Müller-Linow (2008:15), Solé et al. (2010:3) en Heidtmann (2013:442) definieer ’n gemiddelde pad (L) eenvoudig as die kleinste getal skakels wat twee nodusse verbind. Kyk byvoorbeeld na die voorbeeldnetwerk in Figuur 1. Die deursnee van die netwerk is 4, wat die pad is wat vanaf byvoorbeeld ek na uit geneem moet word (aangedui in rooi), of tussen gaan en Piet, of ek en Piet. Die gemiddelde pad in dié netwerk is egter 2.205, wat die gemiddeld verteenwoordig in die hele netwerk. Gemiddelde pad word met behulp van Vergelyking 1 bereken (Kӧnig & Battiston 2009:32):
In Vergelyking (1) is dij die geodetiese afstand (die kortste pad) tussen nodus i en j. In die geval van L is daar soms ’n statisties beduidende verskil tussen tale gevind: L is byvoorbeeld hoër in Russies en Tsjeggies as vir Sweeds en Deens (Cong & Liu 2014:601). Die huidige studie se vergelykende aanpak laat ons dus ook toe om L in drie tale te vergelyk.
Solé et al. (2010:3) definieer groepsvorming (C) as ‘the probability that two vertices (e.g. words) that are neighbors of a given vertex are neighbors of each other’. In Watts en Strogatz (1998) word die groepsvorming Ci van nodus i deur Vergelyking 2 bereken:
In Vergelyking (2) verwys Ei na die getal skakels tussen die bure van nodus i, en ki na die aantal direkte bure van nodus i. Die groepsvorming van die hele netwerk is dan die gemiddeld van Ci vir al die nodusse. Taal het gewoonlik ’n lae groepsvormingskoëffisiënt, aangesien woorde gereeld nie onderling met mekaar kan skakel nie. Masucci en Rodgers (2006:3) skryf dat die woord like in Engels kan skakel met beide die bepaalde en onbepaalde lidwoord, maar hierdie woorde skakel nooit onderling met mekaar in ’n ko-voorkomsnetwerk nie (dieselfde geld vir Afrikaans, waar ’n en die ook nooit langs mekaar in ’n sin voorkom nie). In die voorbeeldnetwerk hierbo kan daar gesien word dat naamwoorde nie gereeld in hierdie netwerk skakel nie; daar is byvoorbeeld nie ’n skakel tussen fiets en bal nie. ’n Driehoek kom egter tussen ek, gaan en haal voor. C verskil ook tussen tale, en Grabska-Gradzińska et al. (2012:11–12) het ’n groter groepsvorming in Engelse as Poolse tekste gevind. Ons studie vergelyk dan ook C in drie tale.
Om ’n netwerk as ’n kleinwêreldnetwerk te klassifiseer soos deur Watts en Strogatz (1998) gemodelleer, moet die netwerk vergelyk word met ’n nulmodel waar n en m gelyk is aan die werklike netwerk wat bestudeer word. Müller-Linow (2008:31) skryf: ‘Die Erzeugung von Null-Modellen einer Graphenarchitektur ist für solche Untersuchungen von Bedeutung, bei denen die Signifikanz verschiedener struktureller Merkmale bestimmt werden soll.’ Die nulmodel wat gewoonlik vir vergelykingsdoeleindes gebruik word, is die lukrake netwerkmodel van Erdös en Rényi (1960, 1959) (Humphries & Gurney 2008), en gevolglik word daar tydens die vergelyking ’n netwerk volgens Erdös en Rényi se model saamgestel wat ekwivalent is aan die netwerk wat ondersoek word, beide ten opsigte van n en m (’n sogenaamde G(n,m)-model). Die gemiddelde pad van die netwerk of grafiek (Lg) word dan met die gemiddelde pad in die ekwivalente Erdös en Rényi-netwerk (Lrand) vergelyk, en die groepsvorming van die netwerk (Cg) met die groepsvorming in die ekwivalente Erdös en Rényi-netwerk (Crand). Kleinwêreldnetwerke is met ander woorde netwerke waar Lg ≈ Lrand en CΔ Crand (i Cancho en Solé 2001:2663; Markošová 2008:662; Solé et al. 2010:3; Heidtmann 2013:445; Cong & Liu 2014:602). Dié definisie is uiteraard nie presies nie, en daarom stel Humphries en Gurney (2008) die volgende metode voor om kleinwêreldsheid deur middel van die kleinwêreldsindeks (S) te kwantifiseer, soos vervat in Vergelykings 3, 4 en 5:
’n Kleinwêreldnetwerk is ’n netwerk waar S > 1, en waardes van 1 ≤ S ≤ 3 is grensgevalle; dus is gevalle waar S ≥ 3 duidelike kleinwêreldnetwerke (Humphries & Gurney 2008).
Resultate
Ten einde die woordko-voorkomsnetwerke in die drie weergawes van Donkermaan te onderneem, is al drie tekste gedigitaliseer en vir karaktererkenningsfoute nagegaan. Aangesien hierdie digitalisering slegs vir ons eie navorsingsdoeleindes onderneem is en die digitale weergawes nie enigsins versprei word nie, is kopiereg nie geskend nie. Die Afrikaanse teks bestaan uit 104 751 woorde, die Engels uit 98 043 woorde, en die Nederlands uit 108 969 woorde.
Die woordko-voorkomsnetwerke in Brink se Donkermaan is in die Afrikaanse, Nederlandse en Engelse tekste saamgestel, en eerstens vergelyk met netwerke van dieselfde grootte (ten opsigte van beide n as m) wat volgens Erdös en Rényi (1959, 1960) se lukrake netwerkmodel en Barabási en Albert (1999) se skaalvrye netwerkmodel saamgestel is. Die vergelyking is met ander woorde tussen die netwerke wat in die drie weergawes van Donkermaan enersyds, en die twee netwerkmodelle andersyds saamgestel is. Die oogmerk hiervan is om te bepaal of die skakelverspreidingspatroon nader aan ’n Poisson-verspreiding val, soos wat aangetref word in die skakelverspreidingspatrooon van Erdös en Rényi-netwerke (Liang et al. 2009), of ’n oneweredige patroon volg, waar ’n klein getal nodusse ’n buitengewone hoë getal skakels het, soos aangetref in Barabási en Albert (1999) se skaalvrye netwerkmodel. Die korrelasies is met behulp van Pearson se korrelasiekoëffisiënt tussen die werklike netwerke en dié twee netwerkmodelle bereken. Die resultate kan in Figuur 2 gesien word.
 |
FIGUUR 2: ’n Vergelyking van netwerkmodelle met woordko-voorkomsnetwerke. |
|
Dit is duidelik dat al drie woordko-voorkomsnetwerke beter voorgestel word deur die skaalvrye netwerkmodel van Barabási en Albert (1999) as die lukrake netwerkmodel van Erdös en Rényi (1959; 1960), wat bloot beteken dat ’n klein getal woorde ’n buitengewoon groot getal skakels het. Soos in Figuur 2 gesien kan word, lewer die skakelverspreidingspatrone r-waardes van 0.831 ≤ r ≤ 0.913 volgens die skaalvrye netwerkmodel van Barabási en Albert, teenoor r-waardes van −0.216 ≤ r ≤ −0.181 volgens Erdös en Rényi se netwerkmodel, wat beteken dat daar ’n sterk korrelasie met die BA-model aangedui kan word, teenoor ’n swak korrelasie met die ER-model. Dié bevinding verbaas geensins nie omdat die verskynsel vroeër in ’n verskeidenheid Engelse tekste gevind is. Die verskynsel is egter nog nie met betrekking tot Afrikaans ondersoek nie.
’n Belangrike vraag wat uit bogenoemde vergelyking tussen netwerkmodelle en werklike netwerke ontstaan, is watter woorde so ’n groot getal skakels het. In i Cancho en Solé (2001:2265) is daar aangedui dat and, the, of, in, a, to, ’s, with, by en is die woorde met die grootste getal skakels in Engels is, en in Solé et al. (2010:5) word dit beklemtoon dat die woorde met die grootste getal skakels in Engels ‘low semantic content’ bevat, met ander woorde eerder leksikale items wat ’n grammatikale funksie vervul. Tabel 1 verskaf die woorde met die grootste getal skakels in die Afrikaanse teks van Donkermaan (Brink 2000a), sowel as in Engels (Brink 2000b) en Nederlands (Brink 2001).
| TABEL 1: Getal skakels van woorde in Donkermaan. |
Dit is opvallend dat die bepaalde lidwoord die grootste getal skakels in al drie tekste het, gevolg deur die neweskikkende voegwoord, en derdens die onbepaalde lidwoord in Nederlands en Afrikaans, terwyl die onbepaalde lidwoord ietwat laer op die lys van Engelse woorde voorkom. Verder domineer voorsetsels en voornaamwoorde al drie dié lyste, wat onder meer daarop dui dat soortgelyke woorde in al drie hierdie tale die meeste voorkom. Let ook daarop dat nie in Afrikaans baie meer skakels het as niet in Nederlands, terwyl not nie onder die twintig woorde in Engels tel wat die meeste skakels het nie (not het die 25ste grootste getal skakels in dié netwerk). Die dubbele ontkenning in Afrikaans is natuurlik daarvoor verantwoordelik dat dié woord soveel skakels in Afrikaans het.
Dit is ook interessant om te let op watter woordpare die meeste saam voorkom. Tabel 2 verskaf die woordpare wat die hoogste ko-voorkoms in die drie weergawes van Donkermaan het.
| TABEL 2: Ko-voorkomste van woorde in Donkermaan. |
Die woordpare wat dus in al drie netwerke die meeste saam voorkom, is in die, terwyl op die, van die, in my, met ’n en ander ook gereeld in al drie tale saam voorkom.
Die huidige studie konsentreer egter nie op blote tellings van woorde se getal skakels nie, maar eerder op L en C. Tabel 3 verskaf die getal nodusse (n), getal skakels (m), gemiddelde pad (L) en groepsvorming (C) vir die woordko-voorkomsnetwerke wat in vier vorige studies bestudeer is.
| TABEL 3: Netwerkdigtheid, gemiddelde pad en groepsvorming in ’n getal woordko-voorkomsnetwerke. |
Tabel 3 wys dat ’n kort gemiddelde pad ’n kenmerk van woordko-voorkomsnetwerke is, selfs wanneer verskillende tale onder die loep kom (kyk ook verder aan), en in dié studies val L in die spektrum 2.54 ≤ L ≤ 3.59. Alhoewel die woordko-voorkomsnetwerke wat deur Masucci en Rodgers (2006), Newman (2006) en Margan, Martinčić-Ipšić en Meštrovíć (2014) bestudeer is ’n beduidend kleiner groepsvorming het as dié wat deur i Cancho en Solé (2001), bestudeer is, geld CΔ Crand steeds in al dié netwerke. Ons het Crand = 0.003 bereken in die netwerk soos bestudeer deur Masucci en Rodgers (2006), en Crand = 0.073 in die netwerk van Newman (2006), teenoor onderskeidelik C = 0.19 en 0.16. Dié groot verskil in groepsvormingskoëffisiënte (tesame met Lg ≈ Lrand soos in die oorspronklike studies gerapporteer) suggereer dat hierdie netwerke kleinwêreldnetwerke is, alhoewel S nie in dié studies bereken word nie (Humphries en Gurney 2008 bereken egter S = 2.13 in die netwerk van Newman 2006).
Bostaande syfers sowel as S is vervolgens bereken in die netwerke wat in die huidige artikel bestudeer word. Tabel 4 verskaf n, m, L, Lrand, C, Crand en S in al drie netwerke.
| TABEL 4: Resultate van die huidige studie. |
Dié figure vergelyk goed met vorige studies. Grabska-Gradzińska et al. (2012) het ’n gemiddelde pad in die spektrum van 2.7 ≤ L ≤ 3.8 in Engelse en Poolse tekste gevind, terwyl Margan, Martinčić-Ipšić en Meštrovíć (2014) ’n gemiddelde pad in die spektrum van 3.10 ≤ L ≤ 3.59 in Kroatiese boeke bereken het, en Liang et al. (2009) het 3.29 ≤ L ≤ 4.95 in Engelse en Chinese tekste gevind. Soos in die geval met Engels, Pools, Kroaties en Chinees, word Afrikaans en Nederlands dus ook deur ’n kort gemiddelde pad gekenmerk, en die onderhawige studie se bevindinge ondersteun ook vorige bevindinge rakende Engels. ’n Vergelyking van L en Lrand word in al drie tekste in Figuur 3 verskaf. Die feit dat L baie soortgelyk in al drie tale is, verbaas nie: al drie tale is Germaanse tale. Boonop is Afrikaans oorwegend op Nederlands gebaseer en in ’n sterk interaksie met Engels. In die geval van L is daar dus nie ’n beduidende verskil tussen die tale waarin hoër L-waardes, byvoorbeeld in Russies en Tsjeggies, as in byvoorbeeld Sweeds en Deens gevind is nie (Cong & Liu 2014:601). Gegewe Cong en Liu se bevinding is dit duidelik dat tale wat tot dieselfde groep behoort, soortgelyke L-waardes het, en dus onderskryf die onderhawige studie ook hulle resultate.
 |
FIGUUR 3: ’n Vergelyking van L en Lrand en C en Crand: (a) Donkermaan Afrikaans, (b) Donkermaan Engels, (c) Donkermaan Nederlands. |
|
C is ook baie soortgelyk wanneer dié koëffisiënte met vorige studies vergelyk word. Grabska-Gradzińska et al. (2012) het C in die spektrum 0.09 ≤ C ≤ 0.34 bereken, terwyl Margan, Martinčić-Ipšić en Meštrovíć (2014) 0.15 ≤ C ≤ 0.32 gevind het, en Liang et al. (2009) kleiner koëffisiënte van 0.0013 ≤ C ≤ 0.264 gevind het (let daarop dat CΔ Crand selfs vir dié klein waardes van C geld). C is dus ook in die huidige studie baie soortgelyk aan wat in vorige studies gevind is. Let daarop dat CΔ Crand duidelik in al drie netwerke geld wat in die huidige studie ondersoek is, soos ook in Figuur 3 gesien kan word. Groepsvorming is ook baie soortgelyk tussen dié drie tale, wat weer eens toegeskryf kan word daaraan dat al drie tale Germaanse tale is. Grabska-Gradzińska et al. (2012:11–12) se bevinding dat groepsvorming hoër is in Engelse as Poolse tekste is natuurlik ’n studie wat tale vanuit verskillende taalgroepe vergelyk, wat nie in die huidige studie die geval is nie. Dit is egter interessant om daarop te let dat Afrikaans ’n hoër groepsvorming as Nederlands of Engels het, waarskynlik vanweë die dubbele ontkenning.
Die huidige studie verteenwoordig die eerste kwantifisering van S volgens Humphries en Gurney (2008) se metode vir woordko-voorkomsnetwerke, en met 522 ≤ S ≤ 797 kan duidelik gesien word dat Afrikaans, Engels en Nederlands al drie duidelik kleinwêreldnetwerke is (SΔ 3). Woordko-voorkomsnetwerke in Afrikaans, Engels en Nederlands kan dus volgens sowel Watts en Strogatz (1998) se kleinwêreldnetwerkmodel as Barabási en Albert (1999) se skaalvrye netwerkmodel beskryf word, eerder as volgens Erdös en Rényi (1959; 1960) se lukrake netwerkmodel.
Die vraag is wat die waarde daarvan is om kleinwêreldsheid in woordko-voorkomsnetwerke te kwantifiseer. Kleinwêreldsheid het belangrike implikasies vir diffusie oor komplekse netwerke van alle soorte: die hoë mate van groepsvorming sowel as die kort gemiddelde pad wat nodusse verbind, maak dit byvoorbeeld makliker vir inligting en virusse om oor kleinwêreldnetwerke te versprei. Kleinwêreldheid is ook van belang in woordko-voorkomsnetwerke: Volgens Cong en Liu (2014:602) vergemaklik die kleinwêreldstruktuur van taal die taalgebruiker se navigasie tussen woordkeuses, en Bordag en Bordag (2003) het geïllustreer hoe ’n kleinwêreldargitektuur dit moontlik maak om vinnig die betekenis van dubbelsinnige woorde te bepaal. Ook is kleinwêreldargitektuur ’n kenmerk van ’n mens se taalgebruik na die ouderdom van twee jaar (Corominas-Murtra, Valverde & Solé 2009).
Die bestudering van die gebruik van taal as komplekse netwerk kan aangewend word om taalverwerwing te ondersoek. Volgens Cong en Liu (2014:611) en Solé et al. (2010:4) verskil die woorde van kinders met die hoogste gebruiksfrekwensie van dié van volwassenes; kinders wend naamwoorde meer gereeld aan omdat lidwoorde en voorsetsels nog nie so gereeld in hul sinstrukture voorkom nie. Antiqueira et al. (2007) stel ook voor dat gebruiksfrekwensies L en C skryfvaardighede kan evalueer ten opsigte van kohesie en koherensie, sowel as tematiese ontwikkeling. Hul toepassing is juis interessant omdat hulle ’n metode voorstel om universiteitstoelating te bepaal (Ke et al. 2014).
Slot
Hierdie artikel het die eerste ontleding van ’n Afrikaanse teks as woordko-voorkomsnetwerk onderneem. Daar is aangedui dat dié netwerk ook, soos in ander tale, gekenmerk word deur ’n oneweredige skakelverspreidingspatroon, kort gemiddelde pad en hoër mate van groepsvorming as wat by Erdös en Rényi-netwerke gevind word. Die artikel het ook Humphreys en Gurney (2008) se metode aangewend om kleinwêreldsheid in die Afrikaanse, Engelse en Nederlandse tekste te kwantifiseer, en daar is gevind dat in al drie gevalle hulle duidelik kleinwêreldnetwerke is.
’n Belangrike vraag wat ontstaan, is hoe veralgemeenbaar die resultate van die huidige studie is, aangesien slegs drie boeke en slegs een skrywer (sowel as twee vertalers) bestudeer is. Let egter daarop dat slegs een skrywer ook in Masucci en Rodgers (2006), Newman (2006), asook Liu en Cong (2013) bestudeer is. Gegewe die feit dat vorige studies aangedui het dat taal ’n kleinwêreldnetwerk is, sowel as die hoë waardes van S wat in die huidige studie gevind is, is dit ons insiens onwaarskynlik dat tot ’n ander gevolgtrekking gekom sal word indien meer tekste in berekening gebring word, alhoewel klein verskille wel sal voorkom. Ten einde hierdie vermoede te bevestig, moet meer tekste en meer outeurs egter bestudeer word.
’n Verdere vraag wat uit dié artikel ontstaan, is of daar ’n statisties beduidende verskil tussen die topologiese kenmerke van werklike taalgebruik in Afrikaans en die literêre gebruik van Afrikaans is. Ook wonder ’n mens of daar ’n verskil is tussen die poësie, prosa en drama, en selfs of daar unieke fasette aan sommige skrywers se taalgebruik is. Gegewe die feit dat taal deur kleinwêreldsheid gekenmerk word, is dit onwaarskynlik dat werklike taalgebruik of die bestudering van ander genres of ander skrywers se werke tot ander bevindinge sal lei, maar dit is moontlik dat geringe, dog betekenisvolle verskille gevind kan word. In toekomstige studies kan meer tekste en verskillende datastelle dus vergelyk word ten einde te bepaal of sodanige statisties beduidende verskille bestaan.
Erkenning
Mededingende belange
Die outeurs verklaar dat hulle geen persoonlike verhouding het wat hulle voordelig of nadelig kon beïnvloed het in die skryf van hierdie artikel nie.
Outeurs se bydraes
B.S. was die projekleier, het die data-analise gedoen en meegeskryf aan die artikel. C.G. het die data ingewin en voorberei en aan die artikel meegeskryf.
Literatuurverwysings
Albert, R. & Barabási, A.-L., 2002, ‘Statistical mechanics of complex networks’, Reviews of Modern Physics 74, pp. 47–97. http://dx.doi.org/10.1103/RevModPhys.74.47
Amaral, L. & Ottino, J., 2004, ‘Complex networks. Augmenting the framework for the study of complex systems’, European Physical Journal 38, 147–162. http://dx.doi.org/10.1140/epjb/e2004-00110-5
Antiqueira, L., Nunes, M.d.G.V., Oliveira, O. & Da Costa, F., 2007, ‘Strong correlations between text quality and complex networks features’, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 373, 811–820.
Barabási, A.-L. & Albert, R., 1999, ‘Emergence of scaling in random networks’, Science 286, 509–11. http://dx.doi.org/10.1126/science.286.5439.509
Bordag, S. & Bordag, D., 2003, ‘Advances in automatic speech recognition by imitating spreading activation’, in V. Matoušek & P. Mautner (eds.), Text, speech and dialogue, pp. 158–164, Springer, Heidelburg. http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-39398-6_23
Brink, A.P., 2000a, Donkermaan, Human & Rousseau, Kaapstad.
Brink, A.P., 2000b, The rights of desire, Vintage, London.
Brink, A.P., 2001, Donkermaan, Meulenhoff, Amsterdam.
Cilliers, P., 1998, Complexity and postmodernism: Understanding complex systems, Routledge, London.
Cong, J. & Liu, H., 2014, ‘Approaching human language with complex networks’, Physics of Life Reviews 11, 598–618. http://dx.doi.org/10.1016/j.plrev.2014.04.004
Corominas-Murtra, B., Valverde, S. & Solé, R., 2009, ‘The ontogeny of scale-free syntax networks: Phase transitions in early language acquisition’, Advances in Complex Systems, 12(3), 371–392. http://dx.doi.org/10.1142/S0219525909002192
De Saussure, F., 1966, Course of general linguistics, McGraw-Hill, New York.
DeLaurentis, D., 2007, ‘Role of humans in complexity of a system-of-systems’, in V. Duffy (ed.), Digital human modeling, Springer (pp. 363–371), Berlin. http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-73321-8_42
Dorogovtsev, S.N. & Mendes, J.F.F. 2001, Language as an evolving word web, Proceedings of the Royal Society of London’, Series B: Biological Sciences 268(1485), 2603–2606. http://dx.doi.org/10.1098/rspb.2001.1824
Erdös, P. & Rényi, A., 1959, ‘On random graphs’, Publicationes Mathematicae 6, 290–297.
Erdös, P. & Rényi, A., 1960, ‘On the evolution of random graphs’, Publications of the Mathematical Institute of the Hungarian Academy of Sciences 5, 17–61.
Grabska-Gradzińska, I., Kulig, A., Kwapień, J., & Drożdż, S., 2012, ‘A complex network analysis of literary and scientific texts’, International Journal of Modern Physics C 23(7), 1250051. http://dx.doi.org/10.1142/S0129183112500519
Heidtmann, K., 2013, ‘Internet-Graphen’, Informatik_Spektrum 6, 440–448.
Holland, J.H., 1992, ‘Complex adaptive systems’, Daedalus 121(1), 17–30.
Humphries, M.D. & Gurney, K, 2008, ’n etwork “small-world-ness”: A quantitative method for determining canonical network equivalence’, PloS one 3(4), e0002051. http://dx.doi.org/10.1371/journal.pone.0002051
i Cancho, R.F. & Solé, R., 2001, ‘The small world of human language’, Proceedings of the Royal Society B, London 268, 2261–2265.
Kenett, Y.N., Kenett, D.Y., Ben-Jacob, E. & Faust, M., 2011, ‘Global and local features of semantic networks: Evidence from the Hebrew Mental Lexicon’, PLoS ONE 6(8), e23912. http://dx.doi.org/10.1371/journal.pone.0023912
Ke, X., Zeng, Y., Ma, Q. & Zhu, L., 2014, ‘Complex dynamics of text analysis’, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 415, 307–314.
Kuhnert, M.-T., 2011, ‘Komplexe dynamische Systeme als funktionelle Netzwerke: Möglichkeiten und Grenzen der datengetriebenen Analyse’, Doktorarbeit, Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität, Bonn.
Kӧnig, M.D. & Battiston, S., 2009, ‘From graph theory to models of economic networks’, in A. Naimzada (ed.), Networks, topology and dynamics, pp. 23–63, Springer, Heidelberg.
Kwapień, J. & Drożdż, S., 2012, ‘Physical approach to complex systems’, Physics Reports 515(3), 115–226. http://dx.doi.org/10.1016/j.physrep.2012.01.007
Liang, W., Shi, Y., Tse, C.K., Liu, J., Wang, Y. & Cui, X., 2009, ‘Comparison of co-occurrence networks of the Chinese and English languages’, Physica A, 388, 4901–4909. http://dx.doi.org/10.1016/j.physa.2009.07.047
Liu, H. & Cong, J., 2013, ‘Language clustering with word co-occurrence networks based on parallel texts’, Chinese Scientific Bulletin 58, pp.1139–1144. http://dx.doi.org/10.1007/s11434-013-5711-8
Liu, H. & Zhao, Y.H.W., 2010, ‘How do local syntactic structures influence global properties in language networks?’, Glottometrics 20, 38–58.
Margan, D., Martinčić-Ipšić, S. & Meštrovíć, A., 2014, ‘Preliminary report on the structure of Croatian linguistic co-occurrence networks’, arXiv 1405.4433v1, 1–8.
Markoaová, M. & Nather, P., 2006, ‘Language as a small world network’, 6th International Conference on Hybrid Intelligent Systems, 13–15 December 2006.
Markošová, M., 2008, ’n etwork model of human language’, Physica A 387, 661–666. http://dx.doi.org/10.1016/j.physa.2007.09.027
Masucci, A. & Rodgers, G., 2006, ’n etwork properties of written human language’, Physical Review E 74(2), 026102. http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevE.74.026102
McCrum, R. Cran, W. & MacNeil, R., 1992, The story of English, Faber & Faber, London.
Mendes, J., 2003, ‘Effect of accelerated growth on networks dynamics’, in R. Pastor-Satorras, M. Rubi & A. Diaz-Guilera (eds.), Statistical mechanics of complex networks, pp. 88–113, Springer-Verlag, Berlin. http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-44943-0_6
Mitchell, M., 2006, ‘Complex systems: Network thinking’, Artificial Intelligence 170(18), 1194–1212. http://dx.doi.org/10.1016/j.artint.2006.10.002
Müller-Linow, M., 2008, ‘Analyse der Verbindung von Topologie und Dynamik in abstrakten Graphen und biologischen Netzwerken’, Doktorarbeit, Technischen Universität Darmstadt.
Newman, M.E.J., 2006, ‘Finding community structure in networks using the eigenvectors of matrices’, Physical Review, E 74, 036104. http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevE.74.036104
Newman, M E.J., 2010, Networks, Oxford University Press, Oxford. http://dx.doi.org/10.1093/acprof:oso/9780199206650.001.0001
Newman, M., 2011, ‘Complex systems: A survey’, arXiv 1112.1440v1, 1–10. http://dx.doi.org/10.1119/1.3590372
Odendal, F., 1969, ‘Taal as sisteem’, rede gelewer by die aanvaarding van die amp van hoogleraar aan die Randse Afrikaanse Universiteit, pp. 5–29.
Senekal, B.A., 2013, ‘Die gebruik van die netwerkteorie binne ’n sisteemteoretiese benadering tot die Afrikaanse letterkunde: ’n Teorie-oorsig’, Tydskrif vir Geesteswetenskappe 53(4), 668–682.
Senekal, J.H., 1987, Literatuuropvattings: ‘Wese’ en ‘waarhede’ van ’n nuwe literêre teorie, Universiteit van die Oranje-Vrystaat, Bloemfontein.
Solé, R.V., Corominas-Murtra, B., Valverde, S. & Steels, L., 2010, ‘Language networks: Their structure, function, and evolution’, Complexity 15(6), 20–26. http://dx.doi.org/10.1002/cplx.20326
Strogatz, S., 2004, Sync. The emerging science of spontaneous order, Penguin, London.
Viljoen, H., 1986, ‘Die Suid-Afrikaanse romansisteem. ’n Vergelykende studie’, Ph.D.-tesis, Potchefstroomse Universiteit vir Christelike Hoër Onderwys.
Watts, D.J. & Strogatz, S.H., 1998, ‘Collective dynamics of “small-world” networks’, Nature 393(6684), 409–410. http://dx.doi.org/10.1038/30918
Weideman, A., 2009, ‘Uncharted territory: A complex systems approach as an emerging paradigm in applied linguistics’, Per Linguam 25(1), 61–75.
Weideman, A., 2011, A framework for the study of linguistics, Van Schaik, Pretoria.
Zipf, G.K., 1935, The psychobiology of language, Houghton-Mifflin, Boston, MA.
Footnote
1. Masucci en Rodgers (2006:4) se lys van nodusse met die hoogste ko-voorkoms sluit ook leestekens in, byvoorbeeld [, and].
|
Hide
Show all
Email this article (Login required)
Post a Comment (Login required)
